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时间:2020-06-24 22:15  绥江安监局发布

北京市海淀区2015届高三数学上学期期中练习试题文(扫描版)

海淀区高三年级第一学期期中练习

数学(文)答案及评分参考 2014.11

一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)

(1)B (2)A (3)D (4)B (5)D (6)A (7)C (8)A

二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分。有两空的小题,第一空2分,第二空3分) (9)3- (10)1 (11)2 (12)

12;1

2

(13)2 (14)23{,}a a 三、解答题(共6小题,共80分) (15)(共13分)

解:(Ⅰ)4π4π4ππ

(

)sin sin()03333

f =-+=. …………… 3分 (Ⅱ)π

()sin sin()3f x x x =-+

ππ

sin (sin cos cos sin )33

x x x =-+ …………… 5分

1

313πsin (sin cos )sin cos sin()22223

x x x x x x =-+

=-=-. …………… 9分 函数sin y x =的单调递增区间为ππ

[2π,2π]()22

k k k -+∈Z , 由πππ

2π2π()232k x k k -

-+∈Z ≤≤, …………… 11分 得π5π

2π2π()66

k x k k -+

∈Z ≤≤. 所以 ()f x 的单调递增区间为π5π

[2π,2π]()66

k k k -+

∈Z . …………… 13分

(16)(共13分)

解:(Ⅰ)由题意可知:2131,2a a d a a d =+=+. ……………… 2分 因为 123,1,1a a a --成等比数列,

所以 2213(1)(1)a a a -=-. ………………4分 因为 11a =,

所以 2

2d d =.

若0d =,则210a -=,与123,1,1a a a --成等比数列矛盾. 所以 0d ≠.

所以 2d =. ……………… 7分 所以 1(1)21n a a n d n =+-=-. ………………9分 (Ⅱ)因为

2211

1

2b a b a -==,111b a ==, …………… 11分 所以 等比数列{}n b 的首项为1,公比为2.

所以 1(12)

2112

n n n T ⨯-=

=--. ……………… 13分 (17)(共13分)

解:(Ⅰ)因为 2D B ∠=∠,3

cos 3

B =, 所以 2

1

cos cos 22cos 13

D B B ==-=-. ……………… 3分 因为 (0,π)D ∠∈,

所以 2

22

sin 1cos 3

D D =-=. ……………… 5分 因为 1,3AD CD ==,

所以 △ACD 的面积1122sin 132223

S AD CD D =

⋅⋅=⨯⨯⨯=. …………… 7分 (Ⅱ)在△ACD 中,222

2cos 12AC AD DC AD DC D =+-⋅⋅=.

所以 23AC =. ……………… 9分 因为 23BC =,

sin sin AC AB

B ACB

=∠, ……………… 11分

所以

23sin sin(π2)sin 22sin cos 23

sin 3

AB AB AB AB

B B B B B B ====

-. 所以 4AB =. ……………… 13分

(18)(共14分)

解:(Ⅰ)a 的值是0. ……………… 2分 (Ⅱ)2()2f x x ax '=-. ……………… 4分 当0a =时,()0f x '≥,)(x f 在(,)-∞+∞内单调递增; 当0a >时,由()0f x '<得:02x a <<;

当0a <时,由()0f x '<得:20a x <<. ……………… 7分 综上所述,当0a =时,无递减区间;当0a >时,)(x f 的单调递减区间是(0,2)a ; 当0a <时,)(x f 的单调递减区间是(2,0)a . (Ⅲ)因为 ()1f x ≥在区间),3[+∞上恒成立,即3

2103

x ax -≥在区间),3[+∞上恒成立. 所以 1

3

a x ≤

在区间),3[+∞上恒成立. ………………10分 因为 3x ≥, 所以

1

13

x ≥. ……………… 11分 所以 1a ≤. ……………… 13分 所以 若()1f x ≥在区间),3[+∞上恒成立,a 的最大值为1. ……………… 14分 (19)(共13分)

(Ⅰ)解:由题意知:2232a S =

,即21232

a

a a +=. 所以 212a a =. ……………… 2分 因为 22a =,

所以 11a =. ……………… 3分

(Ⅱ)证明: 因为 (1)

(1,2,3,)2

n n a n S n +=

=, 所以 11(11)

2

n n a n S ---+=(2n ≥). ……………… 4分

因为 1n n n a S S -=-, ……………… 6分 所以 1

(1)2

n n n n a na a -+-=

,即1(1)n n n a na --=.

因为 2n ≥, 所以 11

n n n

a a n -=

-. ……………… 8分 (Ⅲ)数列{}n a 是等差数列.理由如下: ………………9分 由(Ⅱ)得: 1

(2,3,4,)1

n n a a n n n -==-. 所以

11(2)n

a a n n

==≥,即(2)n a n n =≥. ……………… 11分 由(Ⅰ)知:11a =,所以 (1)n a n n =≥.

所以 数列{}n a 是以1为首项,1为公差的等差数列. ……………… 13分

(20)(共14分)

解:(Ⅰ) ①0是3

()f x x =的“ʃ -点”;

②0不是()sin f x x =的“ʃ -点”. ……………… 2分

(Ⅱ)当12a =时,21()ln 2f x x x =+.其定义域为(0,)+∞,1

'()f x x x

=+(0x >).

(ⅰ)因为 '(1)2f =,1

(1)2

f =.

所以 ()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为1

2(1)2

y x -=-,

即 3

22

y x =-. ……………… 4分

令 2313()()(2)ln 2222

g x f x x x x x =--=

+-+. 则 2

1(1)'()2x g x x x x

-=+-=. ……………… 5分

因为 0x >,

所以 2

(1)'()x g x x

-=

≥0.

所以 函数()g x 是(0,)+∞上的增函数. ……………… 7分 所以 当01x <<时,()(1)0g x g <=,即3()22

f x x <-; 当1x =时,()(1)0

g x g ==,即3()22f x x =-

;

当1x >时,()(1)0g x g >=,即3

()22

f x x >-.

所以 1是函数()y f x =的 “ʃ -点”. …………… 10分

(ⅱ)若函数()y f x =存在“ʃ -点”,则a 的取值范围是0a >.

……………… 14分

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