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木马两根按摩棒 一起

时间:2020-06-24 22:15  武胜上高速发布

1、已知平面内的动点P 到定直线l

:x =P

到定点)

F 之比为2.

(1)求动点P 的轨迹C 的方程;

(2)若点N 为轨迹C 上任意一点(不在x 轴上),过原点O 作直线AB 交(1)中轨迹C 于点A 、B ,

且直线AN 、BN 的斜率都存在,分别为1k 、2k ,问21k k ∙是否为定值?

(3)若点M 为圆O :422=+y x 上任意一点(不在x 轴上),过M 作圆O 的切线,交直线l 于点Q ,

问MF 与OQ 是否始终保持垂直关系?

2、已知椭圆22

22:1x y C a b

+=(0)a b >>的离心率为12,一条准线为:4l x =,若椭圆C 与x 轴交于,A B 两

点,P 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点,直线PA 交直线l 于点M ,直线PB 交直线l 于点N ,记直线

,PA PB 的斜率分别为12,k k .

(1)求椭圆C 的方程;(2)求12,k k 的值; (3)求证:以MN 为直径的圆过x 轴上的定点,并

求出定点的坐标.

3、已知圆22:9C x y +=,点(5,0)A -,直线:20l x y -=.

⑴求与圆C 相切,且与直线l 垂直的直线方程;

⑵在直线OA 上(O 为坐标原点),存在定点B (不同于点A ),满足:对于圆C 上任一点P ,都有PA

PB

为一常数,试求所有满足条件的点B 的坐标.

4、已知椭圆E :22

184

x y +=的左焦点为F ,左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心,圆C 恰好经过坐标原

点O ,设G 是圆C 上任意一点.

(1)求圆C 的方程;

(2)若直线FG 与直线l 交于点T ,且G 为线段FT 的中点,求直线FG 被圆C 所截得的弦长; (3)在平面上是否存在定点P ,使得

1

2

GF GP =?若存在,求出点P 坐标;若不存在,请说明理由.

5、已知221(5)5(13)C x y A ++=-:,点,

.

(第2题图)

(Ⅰ)求过点A 与1C 相切的直线l 的方程; (Ⅱ)设21C C 为

关于直线l 对称的圆,则在x 轴上是否存在点P ,使得P 到两圆的切

P 的坐标;若不存在,试说明理由.

6、已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点分别为21F F 、,其半焦距为c ,圆M 的方程为

.9

16)35(222c y c x =+-

(Ⅰ)若P 是圆M 上的任意一点,求证:2

1PF PF 为定值;

(Ⅱ)若椭圆经过圆上一点Q ,且1611cos 21=∠QF F ,求椭圆的离心率;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若O OQ (3

31=为坐标原点),求圆M 的方程。

7、已知椭圆E :14

82

2=+y x 的左焦点为F ,左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心, 圆C 恰好经过坐标原点O ,设G 是圆C 上任意一点. (Ⅰ)求圆C 的方程;

(Ⅱ)若直线FG 与直线l 交于点T ,且G 为线段FT 的中点,求直线FG 被圆C 所截得的弦长; (Ⅲ)在平面上是否存在一点P ,使得

2

1

=GP GF ?若存在,求出点P 坐标;若不存在,请说明理由.

8、已知抛物线C 的顶点在坐标原点,准线l 的方程为2x =-,点P 在准线l 上, 纵坐标为1

3(0)t t t t

-

∈≠R ,,点Q 在y 轴上,纵坐标为2t . (1)求抛物线C 的方程;

(2)求证:直线PQ 恒与一个圆心在x 轴上的定圆M 相切,并求出圆M 的方程。

9、设圆221:106320C x y x y +--+=,动圆222:22(8)4120 C x y ax a y a +---++= (1)求证:圆1C 、圆2C 相交于两个定点;

(2)设点P 是椭圆2

214

x y +=上的点,过点P 作圆1C 的一条切线,切点为1T ,过点P 作圆2C 的一条切线,切点为2T ,问:是否存在点P ,使无穷多个圆2C ,满足12PT PT =?如果存在,求出所有这样的点P ;如果不存在,说明理由.

10、在平面直角坐标系xoy 中,已知圆221:(3)4C x y ++=和圆222:(4)(4)4C x y -+-= (1) 若直线l 过点(4,1)A -,且被圆1C

截得的弦长为l 的方程;

(2) 是否存在一个定点P ,使过P 点有无数条直线l 与圆1C 和圆2C 都相交,且l 被两圆截得的弦长相等,

若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由.

解析几何的定点、定值问题

1、已知平面内的动点P 到定直线l

:x =P

到定点)

F 之比为2.

(1)求动点P 的轨迹C 的方程;

(2)若点N 为轨迹C 上任意一点(不在x 轴上),过原点O 作直线AB 交(1)中轨迹C 于点A 、B ,

且直线AN 、BN 的斜率都存在,分别为1k 、2k ,问21k k ∙是否为定值?

(3)若点M 为圆O :422=+y x 上任意一点(不在x 轴上),过M 作圆O 的切线,交直线l 于点Q ,

问MF 与OQ 是否始终保持垂直关系? 1. 解:(1)设点(),P x y ,依题意,有

=

----------2分 整理,得22142x y +=.所以动点P 的轨迹C 的方程为22

142

x y +=. -------------5分 (2)由题意:设N ),(11y x ,A ),(22y x ,则B ),(22y x --

1242121=+y x ,12

42

222=+y

x ---------------7分 21k k ∙=2121x -x y -y 2121

x x y y ++∙=2

2

212

2

21x -x y -y =22

122212112-x -2x 1

22x -x 2

+=-为定值。-----------------------------10分设

(3)M ),(00y x ,则切线MQ 的方程为:400=+yy xx

由⎩⎨⎧==+2

2400x yy xx 得Q )224,22(00

y x - ------------12分

)

,2(00y x -=, OQ )224,22(00

y x -= ∙

=

02244220

00=-+-=y x y x

----------15分

所以:⊥ 即MF 与OQ 始终保持垂直关系 -------------16分

2、已知椭圆22

22:1x y C a b

+=(0)a b >>的离心率为12,

一条准线为:4l x =,若椭圆C 与x 轴交于,A B 两点,P 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点,直线PA 交直线l 于点M ,直线PB 交直线l 于点N ,记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k . (1)求椭圆C 的方程;(2)求12,k k 的值;

(3)求证:以MN 为直径的圆过x 轴上的定点,并求出定点的坐标.

3、已知圆2

2

:9C x y +=,点(5,0)A -,直线:20l x y -=.

⑴求与圆C 相切,且与直线l 垂直的直线方程;

⑵在直线OA 上(O 为坐标原点),存在定点B (不同于点A ),满足:对于圆C 上任一点P ,都有PA

PB

为一常数,试求所有满足条件的点B 的坐标.

3.解:⑴设所求直线方程为2y x b =-+,即20x y b +-=,

直线与圆相

切,∴

3=

,得b =±

∴所求直线方程为2y x =-± ---------------5分 ⑵方法1:假设存在这样的点(,0)B t ,

当P 为圆C 与x 轴左交点(3,0)-时,

|3|

2PB t PA +=; 当P 为圆C 与x 轴右交点(3,0)时,|3|

8

PB t PA -=, 依题意,|3||3|28t t +-=,解得,5t =-(舍去),或9

5

t =-。 ---------------------------8分 下面证明 点9(,0)5B -对于圆C 上任一点P ,都有PB

PA

为一常数。

设(,)P x y ,则229y x =-,

∴22222

222229188118

()9(517)9552525(5)102592(517)25

x y x x x x PB PA x y x x x x +++++-+====+++++-+, 从而

3

5

PB PA =为常数。 ----------------------------15分 方法2:假设存在这样的点(,0)B t ,使得PB PA

为常数λ,则222

PB PA λ=,

∴22222()[(5)]x t y x y λ-+=++,将229y x =-代入得,

222222

29(10259)x xt t x x x x λ-++-=+++-,即

2

2

2

2(5)3490t x t λλ++--=对[3,3]x ∈-恒成立, ---------------------------8分

∴2

2250,

3490,t t λλ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩

,解得3595t λ⎧

=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

或15t λ=⎧⎨=-⎩(舍去), 所以存在点9

(,0)5B -对于圆C 上任一点P ,都有

PB PA

为常数3

5。 ---------------------15分

4、已知椭圆E :22

184

x y +=的左焦点为F ,左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心,圆C 恰好经过坐标原点

O ,设G 是圆C 上任意一点.

(1)求圆C 的方程;

(2)若直线FG 与直线l 交于点T ,且G 为线段FT 的中点,求直线FG 被圆C 所截得的弦长; (3)在平面上是否存在定点P ,使得

1

2

GF GP =?若存在,求出点P 坐标;若不存在,请说明理由. 4.(1)由椭圆E :22

184

x y +=,得l :4x =-,(4,0)C -,(2,0)F -, 又圆C 过原点,所以圆C 的方程为22(4)16x y ++=.………………………………4分 (2)由题意,得(3,)G G y -,代入22(4)16x y ++=

,得G y =

所以FG

的斜率为k =,FG

的方程为2)y x =+, …………………8分 (注意:若点G 或FG 方程只写一种情况扣1分) 所以(4,0)C -到FG

的距离为d =

FG 被圆C

截得弦长为7=. 故直线FG 被圆C 截得弦长为7.…………………………………………………………10分

(3)设(,)P s t ,00(,)G x y ,则由

12GF GP =

1

2

=, 整理得22

2200003()(162)2160x y s x ty s t +++++--=①,…………………………12分 又00(,)G x y 在圆C :22(4)16x y ++=上,所以2200080x y x ++=②,

②代入①得2200(28)2160s x ty s t -++--=, …………………………14分

又由00(,)G x y 为圆C 上任意一点可知,22280,

20,160,s t s t -=⎧⎪

=⎨⎪--=⎩

解得4,0s t ==. 所以在平面上存在一点P ,其坐标为(4,0). …………………………16分

5、已知221(5)5(13)C x y A ++=-:,点,

. (Ⅰ)求过点A 与1C 相切的直线l 的方程; (Ⅱ)设21C C 为

关于直线l 对称的圆,则在x 轴上是否存在点P ,使得P 到两圆的切

P 的坐标;若不存在,试说明理由.

5.解:(1

)11(0,5),C r -

因为点A 恰在1C 上,所以点A 即是切点,

11351

212

C A K k -+=

==-,所以, 所以,直线l 的方程为1

3(1),2502

y x x y +=-++=即;………………(8分)

(2)因为点A 恰为C 1C 2中点,所以,2(2,1)C -,

所以,222(2)(1)5C x y -+-=:

, 设2

1225(,0)25PC P a PC -=-,

①,或2221

5

25

PC PC -=-② , ……………………(11分)

由①得,

2220

210(20)(100)(2)4a a P a +=----,解得或,所以,,或,, 由②得,22

4220

a a

a -=+,求此方程无解。 综上,存在两点P (-2,0)或P (10,0)适合题意.………………(16分)

6、已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点分别为21F F 、,其半焦距为c ,圆M 的方程为

.9

16)35(222c y c x =+-

(Ⅰ)若P 是圆M 上的任意一点,求证:2

1PF PF 为定值;

(Ⅱ)若椭圆经过圆上一点Q ,且1611cos 21=∠QF F ,求椭圆的离心率;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若O OQ (331=为坐标原点),求圆M 的方程。

6、解:(Ⅰ)设),(y x P 是圆M 上的任意一点,则

分44)3

5(916)()

35(916)()()(2

222

222

22222

2

1⋅⋅⋅⋅⋅⋅=--+---+

+=+-++=c x c c x c x c c x y

c x y c x PF PF 分定值5)(22

1

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∴

PF PF (Ⅱ)在△,2

3,,2,,2212121m a m QF m QF Q c F F QF F =

===则设在圆上点中, 分

离心率为得分 由即102

1

,4,4948,cos 2244.3

2

222221222⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==∴=∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠⋅⋅⋅-+==

a c e a c m c QF F m m m m c a m

所求圆方程为分解得分

)(16.9

16)35(,1432114,34

,916,16112249314,

cos 12,2222222121⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+-===∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅++=⋅

∴∠⋅++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=y x m a c m m m m m m QF F QF QF Ⅲ

7、已知椭圆E :14

82

2=+y x 的左焦点为F ,左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心, 圆C 恰好经过坐标原点O ,设G 是圆C 上任意一点.

(Ⅰ)求圆C 的方程;

(Ⅱ)若直线FG 与直线l 交于点T ,且G 为线段FT 的中点,求直线FG 被圆C 所截得的弦长; (Ⅲ)在平面上是否存在一点P ,使得2

1

=GP GF ?若存在,求出点P 坐标;若不存在,请说明理由.

7、(1)

知:圆C 的方程为16)4(22=++y x ……………(4分)

8、已知抛物线C 的顶点在坐标原点,准线l 的方程为2x =-,点P 在准线l 上,

纵坐标为1

3(0)t t t t

-∈≠R ,,点Q 在y 轴上,纵坐标为2t .

(1)求抛物线C 的方程;

(2)求证:直线PQ 恒与一个圆心在x 轴上的定圆M 相切,并求出圆M 的方程。 8.解:(1)设抛物线C 的方程为22(0)y px p =>,

因为准线l 的方程为2x =-,所以22

p

-

=-,即4p =, 因此抛物线C 的方程为2

8y x =. ………………………………4分 (2)由题意可知,1(2,3)P t t

--,(0,2)Q t ,

则直线PQ 方程为:1

2(3)

22

t t t y t x ---=

, 即22(1)240t x ty t -+-=,……………………………………………8分

设圆心在x 轴上,且与直线PQ 相切的圆M 的方程为2220()(0)x x y r r -+=>,

则圆心0(,0)M x 到直线PQ

r =, …………………10分

即2220(1)4t x t r rt --=+①或2220(1)4t x t r rt --=--② 由①可得200(4)0x r t x r --+-=对任意,0t t ∈≠R 恒成立,则有

0040,0,

x r x r --=⎧⎨--=⎩,解得02,

2,x r =⎧⎨

=-⎩(舍去)………………………………14分 由②可得200(4)0x r t x r +--+=对任意,0t t ∈≠R 恒成立,则有

00

40,0,x r x r +-=⎧⎨

-+=⎩,可解得02,2,x r =⎧⎨=⎩ 因此直线PQ 恒与一个圆心在x 轴上的定圆M 相切,圆M 的方程为22(2)4x y -+=. ………………………16分

9、设圆221:106320C x y x y +--+=,动圆222:22(8)4120 C x y ax a y a +---++= (1)求证:圆1C 、圆2C 相交于两个定点;

(2)设点P 是椭圆2

214

x y +=上的点,过点P 作圆1C 的一条切线,切点为1T ,过点P 作圆2C 的一条切线,切点为2T ,问:是否存在点P ,使无穷多个圆2C ,满足12PT PT =?如果存在,求出所有这样的点P ;如果不存在,说明理由.

9.解(1)将方程2

2

22(8)4120 x y ax a y a +---++=化为

221612(224)0x y y x y a +-++-++=,

令22161202240x y y x y ⎧+-+=⎨-++=⎩得42x y =⎧⎨=⎩或64x y =⎧⎨=⎩

,所以圆2C 过定点(4,2)和(6,4),4分

将42

x y =⎧⎨

=⎩代入22

106320x y x y +--+=,左边=1644012320+--+==右边,故点(4,2)在圆1

C 上,同理可得点(6,4)也在圆1C 上,所以圆1C 、圆2C 相交于两个定点(4,2)和(6,4); (6)

(2)设00(,)P x y

,则1PT =

(8)

2PT =, ………………………………10分

12PT PT =即00001063222(8)412x y ax a y a --+=---++,

整理得00(2)(5)0x y a ---=(*)…………………………………………………12分

存在无穷多个圆2C ,满足12PT PT =的充要条件为00220

020

14x y x y --=⎧⎪

⎨+=⎪⎩有解,

解此方程组得0020x y =⎧⎨=⎩或0065

45x y ⎧=

⎪⎪⎨⎪=-

⎪⎩

,………………………………………14分

故存在点P ,使无穷多个圆2C ,满足12PT PT =,点P 的坐标为64(2,0)(,)55

或-.………………16分

10、在平面直角坐标系xoy 中,已知圆221:(3)4C x y ++=和圆222:(4)(4)4C x y -+-= (1) 若直线l 过点(4,1)A -,且被圆1C

截得的弦长为l 的方程;

(2) 是否存在一个定点P ,使过P 点有无数条直线l 与圆1C 和圆2C 都相交,且l 被两圆截得的弦长相等,若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由.

10、解:(1)由于直线4x =与圆1C 不相交,所以直线l 的斜率存在.

设直线l 的方程为(4)1y k x =--,圆1C 的圆心到l 的距离为d ,所以1d =. 由点到直线l

的距离公式得d =

,从而(247)0k k +=

所以0k =或7

24

k =-

,所以直线l 的方程为1y =-或72440x y +-=.………8分 (2)假设存在,设点P 的坐标为(,),P a b l 的方程为()y b k x a -=-,因为圆1C 和圆2C 的半径相等,被l

截得的弦长也相等,所以点1C 和圆2C 的半径相等,被l 的距离相等,

=

,

整理得:

(147)2(81432)8160a k a b k b --+-+-=,因为k 的个数有无数多个,所以

14708143208160a a b b -=⎧⎪+-=⎨⎪-=⎩

解得 122a b ⎧=

⎪⎨

⎪=⎩ 综上所述,存在满足条件的定点P ,且点P 的坐标为1(,2)2

P . ………16分

。

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